Để chứng minh rằng \( IK \parallel EF \) và \( EF = AB + CD \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang và hình bình hành.

### Chứng minh (a): \( IK \parallel EF \)

1. **Hình thang**: Ta biết rằng \( AB \parallel CD \) (do định nghĩa hình thang). Giả sử \( EM \) và \( FM \) lần lượt là các đường thẳng nối điểm \( M \) với \( D \) và \( C \).

2. **Hình bình hành**: Bởi vì \( MDEA \) và \( MCFB \) là các hình bình hành, nên ta có:
- Trong hình bình hành \( MDEA \):
\[
DE \parallel AM
\]
- Trong hình bình hành \( MCFB \):
\[
CF \parallel MB
\]

3. **Tính song song**: Do tính chất của hình bình hành, ta có:
- \( DE \) và \( AM \) song song
- \( CF \) và \( MB \) song song

4. **Điểm I và K**: Theo định nghĩa:
- \( I = AD \cap EM \)
- \( K = BC \cap FM \)

5. **Xét tam giác**: Ta có các đoạn thẳng \( IK \) cắt các đường thẳng \( DE \) và \( CF \) tại các điểm \( I \) và \( K \). Theo định lý về các đường song song (2 đường cắt bởi 2 đường song song) trong những tam giác được tạo thành, ta có:
- \( IK \) song song với \( EF \) (do \( DE \parallel EF \) và \( CF \parallel EF \))

Do đó, ta chứng minh rằng \( IK \parallel EF \).

### Chứng minh (b): \( EF = AB + CD \)

1. **Độ dài các đoạn thẳng**: Các hình bình hành \( MDEA \) và \( MCFB \) cho ta biết rằng các đoạn thẳng đối diện của chúng đều bằng nhau:
- \( ME = AD \)
- \( MF = BC \)

2. **Tính tổng**: Bởi vì \( DE \parallel AB \) và \( CF \parallel CD \), và các đoạn thẳng này tạo thành các hình với cùng chiều dài, ta có:
\[
EF = DE + CF
\]

3. **Tổng hợp lại**:
- Ta biết rằng \( DE + CF = AD + BC \) do các tính chất của hình bình hành.
- Do \( AB \) là đoạn thẳng song song với \( DE \) và \( CD \) là đoạn thẳng song song với \( CF \), từ đó ta có:
\[
EF = AB + CD
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
- \( IK \parallel EF \) và
- \( EF = AB + CD \).

Qua đó, hoàn thành yêu cầu bài toán.