Bài 9

Điều kiện: x > 0; x \(\neq\) 1.

1) Tính giá trị của N khi x = 25:

Thay x = 25 vào biểu thức N:

\(N = \frac{\sqrt{25}+1}{\sqrt{25}} = \frac{5+1}{5} = \frac{6}{5}\)

Vậy khi x = 25 thì N = 1,2.

2) Rút gọn S = M . N:

M = \(\frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+1)^2} - \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)

M = \(\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1) - (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2(\sqrt{x}-1)}\)

M = \(\frac{(x + \sqrt{x} - 2) - (x - \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x}+1)^2(\sqrt{x}-1)} = \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2(\sqrt{x}-1)}\)

S = \(\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2(\sqrt{x}-1)} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{2}{x-1}\)

3) Tìm x để S < -1:

\(\frac{2}{x-1} < -1 \Leftrightarrow \frac{2}{x-1} + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{2 + x - 1}{x-1} < 0 \Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1} < 0\)

Vì x > 0 nên x+1 > 0. Để phân thức âm thì mẫu số phải âm:

x - 1 < 0 \(\Leftrightarrow\) x < 1

Ta có: 0 < x < 1.

Bài 10

Điều kiện: \(x \ge 0, x \neq 4, x \neq 9.\)

1) Tính giá trị của A khi x = 16:

Thay x = 16 vào biểu thức A:

A = \(\frac{\sqrt{16}}{16-9} = \frac{4}{7}\)

2) Rút gọn biểu thức B:

B = \(\frac{3(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-2} + \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+2}\)

B = \(3 + \sqrt{x}\)

3) Tìm x để P < 1 (với P = A . B):

P = \(\frac{\sqrt{x}}{x-9} \cdot (3 + \sqrt{x}) = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \cdot (\sqrt{x}+3) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

Để P < 1:

\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}-3} < 0 \Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{x}-3} < 0\)

Vì 3 > 0 nên để phân thức âm thì \(\sqrt{x}-3\) < 0:

\(\sqrt{x} < 3 \Leftrightarrow x < 9\)

Ta có: \(0 \le x < 9 và x \neq 4.\)