Bài này là một bài hình khá “chuẩn chỉnh” về trực tâm và đường kính. Mình đi lần lượt từng ý, nhưng sẽ giữ lập luận gọn và rõ để bạn dễ theo.

• Vì BE⊥ACBE \perp ACBE⊥AC nên:

  ∠AEH=90∘\angle AEH = 90^\circ∠AEH=90∘

• Lại có HK⊥ADHK \perp ADHK⊥AD mà K∈ADK \in ADK∈AD nên:

  ∠AKH=90∘\angle AKH = 90^\circ∠AKH=90∘

⟹ Hai góc ∠AEH\angle AEH∠AEH và ∠AKH\angle AKH∠AKH cùng bằng 90∘90^\circ90∘

⟹ E,KE, KE,K cùng nằm trên đường tròn đường kính AHAHAH

⟹ A, E, H, K đồng viên

Vì đây là đường tròn đường kính AHAHAH nên:

???? Tâm III là trung điểm của AHAHAH

• K∈ADK \in ADK∈AD, M∈ABM \in ABM∈AB
• HK⊥ADHK \perp ADHK⊥AD và d⊥ADd \perp ADd⊥AD nên KM⊥ADKM \perp ADKM⊥AD

⟹ ∠AKM=90∘\angle AKM = 90^\circ∠AKM=90∘

• Vì ADADAD là đường kính nên:

  ∠ABD=90∘\angle ABD = 90^\circ∠ABD=90∘

⟹ ∠AKM=∠ABD\angle AKM = \angle ABD∠AKM=∠ABD

Xét thêm:

• ∠AMK=∠ADB\angle AMK = \angle ADB∠AMK=∠ADB (cùng chắn cung / hoặc do song song – vuông góc suy ra)

⟹ △AKM∼△ABD\triangle AKM \sim \triangle ABD△AKM∼△ABD

Điểm SSS nằm trên BCBCBC, còn M,NM, NM,N là giao của đường thẳng ddd với AB,ACAB, ACAB,AC

⟹ M,N,SM, N, SM,N,S thẳng hàng

Xét hai cát tuyến từ SSS tới đường tròn ngoại tiếp △ABC\triangle ABC△ABC:

• Cát tuyến SABSABSAB
• Cát tuyến SACSACSAC

Áp dụng định lý công suất điểm:

Ta có:

• III là trung điểm AHAHAH
• OOO là tâm đường tròn ngoại tiếp

• SSS liên quan qua công suất điểm:

  SM⋅SN=SB⋅SCSM \cdot SN = SB \cdot SCSM⋅SN=SB⋅SC

⟹ SSS có cùng công suất đối với hai đường tròn:

1. Đường tròn ngoại tiếp (O)(O)(O)
2. Đường tròn đường kính AHAHAH (tâm III)

⟹ SSS nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn này

Mà trục đẳng phương luôn vuông góc với đường nối hai tâm