Bài 1: Thu gọn và tìm bậc
$A = \frac{2}{3}x^2y^3 \cdot \left(-\frac{1}{2}x^2y^3\right)^3$

• Bước 1: Khai triển lũy thừa

  $$\left(-\frac{1}{2}x^2y^3\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3)^3 = -\frac{1}{8}x^6y^9$$

• Bước 2: Nhân hai đơn thức

  $$A = \frac{2}{3}x^2y^3 \cdot \left(-\frac{1}{8}x^6y^9\right) = \left(\frac{2}{3} \cdot -\frac{1}{8}\right) \cdot (x^2 \cdot x^6) \cdot (y^3 \cdot y^9)$$
  $$A = -\frac{1}{12}x^8y^{12}$$

• Bậc: Bậc của đơn thức là $8 + 12 = 20$.

$B = x^{n-1}y^{n+2} \cdot \frac{1}{6}x^n y \cdot \frac{2}{3}y^n x^{2-n}$

• Bước 1: Nhóm hệ số và các biến cùng loại

  $$B = \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(x^{n-1} \cdot x^n \cdot x^{2-n}\right) \cdot \left(y^{n+2} \cdot y^1 \cdot y^n\right)$$

• Bước 2: Cộng số mũ

  • Số mũ của $x$: $(n - 1) + n + (2 - n) = n + 1$

  • Số mũ của $y$: $(n + 2) + 1 + n = 2n + 3$

    $$B = \frac{1}{9}x^{n+1}y^{2n+3}$$

• Bậc: Bậc của đơn thức là $(n + 1) + (2n + 3) = 3n + 4$.

$C = \frac{1}{2}x^2y - \frac{3}{4}x^3y - \frac{1}{7}xy^2 + \frac{1}{2}x^2y + \frac{1}{7}xy^2$

• Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng

  $$C = \left(\frac{1}{2}x^2y + \frac{1}{2}x^2y\right) + \left(-\frac{1}{7}xy^2 + \frac{1}{7}xy^2\right) - \frac{3}{4}x^3y$$

• Bước 2: Thu gọn

  $$C = 1x^2y + 0 - \frac{3}{4}x^3y = x^2y - \frac{3}{4}x^3y$$

• Bậc: * Hạng tử $x^2y$ có bậc là $2 + 1 = 3$.

  • Hạng tử $-\frac{3}{4}x^3y$ có bậc là $3 + 1 = 4$.

  • Vậy bậc của đa thức là $4$.

Bài 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

(Để chứng minh, ta cần rút gọn biểu thức sao cho kết quả cuối cùng là một con số cụ thể, không còn chứa biến $x$ hay $y$ nữa).

$A = (3 - 2x)(x + 5) + 2x(x - 3) + 13x + 4$

• Khai triển:

  $$A = (3x + 15 - 2x^2 - 10x) + (2x^2 - 6x) + 13x + 4$$

• Thu gọn:

  $$A = -2x^2 + 2x^2 + 3x - 10x - 6x + 13x + 15 + 4$$
  $$A = 0x^2 + 0x + 19 = 19$$

• Kết luận: Vì $A = 19$ nên giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x$.

$B = (x^2 + 1)(1 - x)(x + 1) + x^4$

• Nhận xét: $(1 - x)(x + 1) = (1 - x)(1 + x) = 1 - x^2$ (Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương).

• Thay vào biểu thức:

  $$B = (x^2 + 1)(1 - x^2) + x^4$$
  $$B = (1 + x^2)(1 - x^2) + x^4$$
  $$B = (1 - x^4) + x^4 = 1$$

• Kết luận: Vì $B = 1$ nên giá trị của $B$ không phụ thuộc vào biến $x$.

$C = 3x(x - 5y) + (y - 5x)(-3y) - 1 - 3(x^2 - y^2)$

• Khai triển:

  $$C = (3x^2 - 15xy) + (-3y^2 + 15xy) - 1 - (3x^2 - 3y^2)$$
  $$C = 3x^2 - 15xy - 3y^2 + 15xy - 1 - 3x^2 + 3y^2$$

• Thu gọn:

  $$C = (3x^2 - 3x^2) + (-15xy + 15xy) + (-3y^2 + 3y^2) - 1$$
  $$C = 0 + 0 + 0 - 1 = -1$$

• Kết luận: Vì $C = -1$ nên giá trị của $C$ không phụ thuộc vào biến $x, y$.

Bài 3: Tìm $x$
$1) \ x(2x - 1) - 2x(x + 3) = 10$
$$2x^2 - x - 2x^2 - 6x = 10$$
$$-7x = 10$$
$$x = -\frac{10}{7}$$
$2) \ (x + 1)(x^2 - x + 1) - x^3 + 2x = 0$

• Nhận xét: $(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$ (Hằng đẳng thức tổng hai lập phương).

  $$x^3 + 1 - x^3 + 2x = 0$$
  $$2x + 1 = 0$$
  $$2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$$

$3) \ (x + 2)(x + 3) - (x - 2)(x + 5) = 6$
$$(x^2 + 3x + 2x + 6) - (x^2 + 5x - 2x - 10) = 6$$
$$(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 3x - 10) = 6$$
$$x^2 + 5x + 6 - x^2 - 3x + 10 = 6$$
$$2x + 16 = 6$$
$$2x = 6 - 16 = -10 \implies x = -5$$
$4) \ (2x + 1)(2x - 1) = 4(x + 3)^2$
$$4x^2 - 1 = 4(x^2 + 6x + 9)$$
$$4x^2 - 1 = 4x^2 + 24x + 36$$
$$-1 = 24x + 36$$
$$24x = -1 - 36$$
$$24x = -37 \implies x = -\frac{37}{24}$$
Bài 4: Khai triển hằng đẳng thức (HĐT)
$1) \ (x - 2y^2)^2$

• Áp dụng $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$:

  $$= x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y^2) + (2y^2)^2$$
  $$= x^2 - 4xy^2 + 4y^4$$

$2) \ (3y + 4x)^2$

• Áp dụng $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:

  $$= (3y)^2 + 2 \cdot (3y) \cdot (4x) + (4x)^2$$
  $$= 9y^2 + 24xy + 16x^2$$

$3) \ 4x^2 - 16y^4$

• Áp dụng $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

  $$= (2x)^2 - (4y^2)^2$$
  $$= (2x - 4y^2)(2x + 4y^2)$$

$4) \ x^4 - 4y^4$

• Áp dụng $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

  $$= (x^2)^2 - (2y^2)^2$$
  $$= (x^2 - 2y^2)(x^2 + 2y^2)$$