a) chứng minh adme là hình chữ nhật:

• tam giác abc vuông tại a => góc a = 90 độ.

• md vuông góc với ab => góc d = 90 độ.

• me vuông góc với ac => góc e = 90 độ.

• tứ giác adme có ba góc vuông => adme là hình chữ nhật.

b) chứng minh dm = ec và d, o, c thẳng hàng:

• am là đường trung tuyến của tam giác abc vuông tại a => am = mc = bc/2 => tam giác amc cân tại m.

• tam giác amc cân tại m có me là đường cao => me đồng thời là đường trung tuyến của ac => e là trung điểm của ac => ae = ec.

• vì adme là hình chữ nhật => dm = ae. mà ae = ec => dm = ec.

• vì adme là hình chữ nhật => dm // ae => dm // ec.

• xét tứ giác dmce có dm = ec và dm // ec => dmce là hình bình hành.

• hình bình hành dmce có o là trung điểm của đường chéo me => o cũng phải là trung điểm của đường chéo dc => d, o, c thẳng hàng.

c) tìm điều kiện để adme là hình vuông:

• hình chữ nhật adme là hình vuông <=> am là đường phân giác của góc a.

• mà am vốn đã là đường trung tuyến của tam giác abc.

• tam giác abc có đường trung tuyến am đồng thời là đường phân giác <=> tam giác abc cân tại a.

• vậy điều kiện để adme là hình vuông là tam giác abc phải vuông cân tại a.
  B5
   

• gọi chiều rộng đáy hồ là x (m, x > 0) => chiều dài đáy hồ là 2x (m)

• gọi h là chiều cao hồ (m, h > 0)

• thể tích hồ: v = x . 2x . h = 2 . x^2 . h = 288 => h = 144 / x^2

• diện tích cần xây (hồ không nắp gồm đáy + 4 mặt bên): s = (x . 2x) + 2 . h . x + 2 . h . 2x s = 2 . x^2 + 6 . h . x

• thế h = 144 / x^2 vào s: s = 2 . x^2 + 6 . x . (144 / x^2) = 2 . x^2 + 864 / x

• tách để dùng cô-si (bđt cosi cho 3 số): s = 2 . x^2 + 432 / x + 432 / x ≥ 3 . căn bậc 3 của (2 . x^2 . 432 / x . 432 / x) s ≥ 3 . căn bậc 3 của (373248) = 3 . 72 = 216 m^2

• để chi phí thuê rẻ nhất <=> s nhỏ nhất = 216 m^2 dấu "=" xảy ra khi: 2 . x^2 = 432 / x <=> 2 . x^3 = 432 <=> x^3 = 216 <=> x = 6 m => chiều rộng = 6 m, chiều dài = 2 . 6 = 12 m => chiều cao h = 144 / 6^2 = 4 m

• chi phí thấp nhất: 216 . 100000 = 21600000 đồng (21,6 triệu).