Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \( A \cup B = A \), trước tiên ta cần xác định các tập hợp \( A \) và \( B \).

1. **Tập hợp \( A \)** được cho bởi:
\[
A = [-4, 1] = \{ x | -4 \leq x \leq 1 \}
\]

2. **Tập hợp \( B \)** được cho bởi:
\[
B = [-3, m] = \{ x | -3 \leq x \leq m \}
\]

**Điều kiện \( A \cup B = A \)** có nghĩa là tất cả các phần tử trong tập hợp \( B \) đều thuộc tập hợp \( A \). Điều này chỉ xảy ra khi \( B \) không "thêm vào" phần tử nào không thuộc \( A \).

Do đó, \( B \) phải được chứa trong \( A \). Điều này có nghĩa là:

- **Điều kiện 1**: \( -3 \) phải lớn hơn hoặc bằng \( -4 \):
\[
-3 \geq -4 \quad \text{(Luôn đúng)}
\]

- **Điều kiện 2**: \( m \) phải nhỏ hơn hoặc bằng \( 1 \):
\[
m \leq 1
\]

- **Điều kiện 3**: Để đảm bảo \( B \cap A = B \) (tức là không có khoảng nào trong \( B \) nằm ngoài \( A \)), ta cũng cần xem xét giới hạn trên của \( B \). Do đó, \( -3 \leq m \) để không có giới hạn trên của \( B \) ở ngoài \( A \).

Vậy nên, chúng ta có hệ bất phương trình:
\[
-3 \leq m \leq 1
\]

Như vậy, \( m \) phải nằm trong khoảng:
\[
m \in [-3, 1]
\]

Câu trả lời cuối cùng là: \( m \) trong khoảng \([-3, 1]\) để \( A \cup B = A \).