Có góc AFE + góc AEF = 180 độ - góc EAF = 180 - 90 = 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A)
Tứ giác AEHF có góc EAF = 90độ ; góc AEH = gócHFA = 90độ(vì HE vuông góc vs AB, HF vuông góc vs AC)
=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
=> AH = EF
Gọi O là giao điểm của AH và EF
Do đó O cũng là trung điểm của AH và EF
nên OA = OH = AH/2 và OE = OF = EF/2
mà AH = EF (cmt)
do đó OA = OE => Tam giác AOE cân tại O => góc AEF = góc EAH
Lại có góc AEF + góc AFE = 90độ và góc EAH + góc EHA = 90độ
mà góc AEF = góc EAH (cmt)
nên góc EHA = góc AFE
Lại có góc BHE + góc EHA = 90độ (vì BC vuông góc vs AH)
Có HE vuông góc vs AB nên góc BEH = 90độ
=>góc EBH + góc BHE = 90độ
Do đó góc EHA = góc EBH
mà góc EHA = góc AFE
nên góc EBH = góc AFE => góc ABC = góc AFE
Xét tam giác ABC và tam giác AFE có:
góc BAC = góc FAE = 90độ
góc ABC = góc AFE (cmt)
Do đó tam giác ABC đồng dạng vs tam giác AFE (g.g)
=> AB/AC = AF/AE
=> AB.AE = AF.AC (đpcm)