a, xét ΔABC và ΔADC có

AC chung

^A1=^C2 ( AD // BC )

^C1=^A2 ( AB // DC )

=> ΔABC =ΔADC (g.c.g)

b, xét Δ ADB và ΔCBD có

BD chung

^B1=^D2 ( AB // DC )

^D1=^B2( AD // BC )

=> ΔCBD = ΔADB ( g.c.g )

c, xét ΔABO và ΔCOD có

^C1=^A2 ( AB // DC )

a) Xét ΔABC;ΔADC có :

ACBˆ=CAD (so le trong)

AC:chung

BACˆ=DCAˆ(so le trong)

=> ΔABC=ΔADC(g.c.g)

b) Xét ΔADB;ΔCBD có :

AB=CD(ΔABC=ΔADC−cmt)

BD:Chung

AD=BC(ΔABC=ΔADC(cmt)

=> ΔADB=ΔCBD(c.c.c)

c) Xét ΔABO;ΔCOD có :

OABˆ=OCDˆ(slt)

AB=DC(cmt)

OBAˆ=ODCˆ(slt)

=> ΔABO=ΔCOD(g.c.g)

a) Xét  ΔACD vuông tại A và ΔABE vuông tại A có:

       AC=AB

       AD=AE

=>ΔACD=ΔABE (2 cạnh góc vuông)

b) ΔACD=ΔABE (Cmt)

=>∠ADC=∠AEB

     ∠ACD=∠ABE

Mà ∠ACD+∠DCE=∠ABE+∠EBD (=180o)

=> ∠DCE=∠EBD

Ta có AD=AB+BD 

          AE=AC+CE

Mà  AD=AE, AB=AC

=>BD=CE

Xét ΔBOD và ΔCOE có

  ∠EBD=∠DCE

   BD=CE

    ∠ADC=∠AEB

=>ΔBOD=ΔCOE (g.c.g)

c) ΔBOD=ΔCOE (Cmt)

=> OD=OE

Xét ΔAOD và ΔAOE có

AD= AE

OD=OE (Cmt)

 AO chung

=>ΔAOD=ΔAOE (c.c.c)

=> ∠DAO=∠OAE

Cách 1: Gọi I là giao điểm của DE và AO

Xét ΔDAI và ΔEAI có

AD=AE

∠DAO=∠OAE (Cmt)

AI chung

=>ΔDAI=ΔEAI (c.g.c)

=> ∠DIA=∠EIA

Mà ∠DIA+∠EIA= 180o

=> ∠DIA=∠EIA=180o/2=90o

=>AO vuông góc DE 

Cách 2: Vì AD=AE 

=> ΔADE cân tại  A

Mà AO là phân giác (∠DAO=∠OAE)

=> AO là đường cao

=> AO vuông góc với DE

a) Xét  ΔACD vuông tại A và ΔABE vuông tại A có:

       AC=AB

       AD=AE

=>ΔACD=ΔABE (2 cạnh góc vuông)

b) ΔACD=ΔABE (Cmt)

=>∠ADC=∠AEB

     ∠ACD=∠ABE

Mà ∠ACD+∠DCE=∠ABE+∠EBD (=180o)

=> ∠DCE=∠EBD

Ta có AD=AB+BD 

          AE=AC+CE

Mà  AD=AE, AB=AC

=>BD=CE

Xét ΔBOD và ΔCOE có

  ∠EBD=∠DCE

   BD=CE

    ∠ADC=∠AEB

=>ΔBOD=ΔCOE (g.c.g)

c) ΔBOD=ΔCOE (Cmt)

=> OD=OE

Xét ΔAOD và ΔAOE có

AD= AE

OD=OE (Cmt)

 AO chung

=>ΔAOD=ΔAOE (c.c.c)

=> ∠DAO=∠OAE

Cách 1: Gọi I là giao điểm của DE và AO

Xét ΔDAI và ΔEAI có

AD=AE

∠DAO=∠OAE (Cmt)

AI chung

=>ΔDAI=ΔEAI (c.g.c)

=> ∠DIA=∠EIA

Mà ∠DIA+∠EIA= 180o

=> ∠DIA=∠EIA=180o/2=90o

=>AO vuông góc DE 

Cách 2: Vì AD=AE 

=> ΔADE cân tại  A

Mà AO là phân giác (∠DAO=∠OAE)

=> AO là đường cao

=> AO vuông góc với DE

a) Xét 2 Δ AMB và Δ AMC có:

AB=AC ( gt)

AM chung

BM=MC (m là trung điểm của BC)

⇒Δ AMB=Δ AMC (c.c.c)

b) Theo câu a, Δ AMB=Δ AMC

⇒∠BAM=∠CAM ( 2 góc tương ứng)

⇒ AM là tia phân giác của ∠BAC (đpcm)

c) Ta có: ∠BMA + ∠CMA= 180° ( kề bù)

    ⇒ ∠BMA = ∠CMA = 180/2 = 90°

    ⇒ AM ⊥ BC (đpcm)

a)

Xét tam giác AOD và tam giác COB có:

AO = CO (gt)

OˆO^ chung

OD = OB (gt)

=> Tam giác AOD = Tam giác COB (c.g.c)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)

b)

BCO + BCD = 1800 (2 góc kề bù)

DAO + DAB = 1800 (2 góc kề bù)

mà BCO = DAO (tam giác AOD = tam giác COB)

=> BCD = DAB

OB = OD (gt)

OA = OC (gt)

=> OB - OA = OD - OC

=> AB = CD

Xét tam giác EAB và tam giác ECD có:

EAB = ECD (chứng minh trên)

AB = CD (chứng minh trên)

ABE = CBE (tam giác AOD = tam giác COB)

=> Tam giác EAB = Tam giác ECD (g.c.g)

c)

Xét tam giác OBE và tam giác ODE có:

OB = OD (gt)

OBE = ODE (tam giác AOD = tam giác COB)

DE = DE (tam giác EAB = tam giác ECD)

=> Tam giác OBE = Tam giác ODE (c.g.c)

=> EOB = EOD (2 góc tương ứng)

=> OE là tia phân giác của BOD

Bài 7

Bài 9

a/ Có:

AE là phân giác góc BAC => góc EAK = 30 độ

=> Góc AEK = 60 độ (vì tam giác AEK vuông tại K và có góc EAK = 30 độ)

Tương tự, có góc EBK = 30 độ (vì tam giác ABC vuông tại C và có góc A = 60 độ)

=> góc KEB = 60 độ

Xét hai tam giác vuông AEK và KEB có:

EK chung

góc EKB = góc EKA = 90 độ

Góc AEK = góc KEB = 60 độ (cmt)

=> Hai tam giác đó bằng nhau => AK = KB

b/ Có: góc DAB = 30 độ (cmt) => Góc ABD = 60 độ (tam giác ADB vuông tại D)

Xét hai tam giác vuông ABC và ABD có:

AB chung

góc BAC = góc ABD = 60 độ ( gt + cmt)

Góc DAB = góc ABC = 30 độ

=> Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp (g.c.g)

=> AD = BC (hai cạnh tương ứng)

a) M là trung điểm của AC

⇒ AM = MC = AC/2

N là trung điểm của AB

⇒ AN = NB = AB/2

Mà AC = AB (ΔABC cân tại A)

⇒ MC = NB

ΔBNC và ΔCMB có:

NB = MC (cmt)

NBC = MCB (ΔABC cân tại A)

BC là cạnh chung

⇒Δ BNC = ΔCMB (c.g.c)

b) Vì ΔBNC = ΔCMB (cm ở câu a)

⇒ Góc BCN =Góc CBM (2 góc tương tứng)

hay Góc BCK = Góc CBK

Do đó ΔBKC cân tại K.

Bài 12