21.
$$\begin{gathered} \mathrm{n}^3+3\mathrm{n}^2+2\mathrm{n} \\ =\mathrm{n}(\mathrm{n}^2+3\mathrm{n}+2) \\ =\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2) \end{gathered}$$
Do n,n+1,n+2 là 3 STN lt 
=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 6
=>đpcm

21) Vì 6=2.3 và (2,3)=1
Ta có:
n³ + 3n² + 2n = n²(n + 1) + 2n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
Nhận thấy n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp.
=> Tồn tại 1 số chia hết cho 2.( vì n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp) [với mọi số nguyên n]
Tồn tại 1 số chia hết cho 3.( vì n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp)
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2.3
hay n³ + 3n² + 2n chia hết cho 6.
=> ĐPCM.

13) Ta có: A =n^12-n^8-n^4+1
=(n^8-1)(n^4-1)=(n^4+1)(n^4-1)^2
=(n^4+1)[(n^2+1)(n^2-1)]^2
=(n-1)^2*(n+1)^2*(n^2+1)^2*(n^4+1)
Ta có n-1 và n+1 là 2 số chẵn liên tiếp nên có 1 số chỉ chia hết cho 2 ,1 số chia hết cho 4 nên (n-1)(n+1) chia hết cho 8 => (n-1)^2*(n+1)^2 chia hết cho 64
Mặt khác n lẻ nên n^2+1,n^4+1 cũng là số chẵn nên (n^2+1)^2*(n^4+1) chia hết cho 2^3=8
Do đó : A chia hết cho 64*8=512

14)

22)3n^4−14n^3+21n^2−10n
=(n−2)(n−1)n(3n−5)chia hết cho 3

Ta lại có :
3n^4−14n^3+21n^2−10n=(n−2)(n−1)n(3n−5)=(n−2)(n−1)n(3n+3−8)=3(n−2)(n−1)n(n+1)−8(n−2)(n−1)n3n^4−14n^3+21n^2−10n=(n−2)(n−1)n(3n−5)=(n−2)(n−1)n(3n+3−8)=3(n−2)(n−1)n(n+1)−8(n−2)(n−1)n

chia hết cho 8. Mà (3, 8) = 1 nên chia hết cho 24

16) n^5-5n^3+4n = n(n^4 - 5n^2 + 4)
= n(n^2-1)(n^2-4)
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
Dễ thấy 120 = 2^3 . 3 . 5
Mà:
Tích 5 số thì chắc chắn sẽ có tích 2 số chẵn, tích 2 số chẵn luôn chia hết cho 8 (1)
Tích này có tích 3 stn liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3 (2)
Mà tích 5 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có 1 số chia hết cho 5 (nguyên lý dirichlet) (3)
Mà (2^3, 3, 5) = 1 nên => đpcm