a) Do ABAB và ACAC là hai tiếp tuyến của (O)(O)

⇒AB=AC⇒ΔABC⇒AB=AC⇒ΔABC cân đỉnh AA

Và ˆA1=ˆA2⇒AOA1^=A2^⇒AO là đường trung tuyến nên AOAO cũng là đường cao

⇒AO⊥BC⇒AO⊥BC

b) ΔBCDΔBCD nội tiếp đường tròn (BD)(BD)

⇒ˆBCD=90o⇒BCD^=90o

⇒CD⊥BC⇒CD⊥BC

Mà theo chứng minh ở câu a AO⊥BCAO⊥BC

⇒CD∥AO⇒CD∥AO (vì cùng ⊥BC⊥BC)

c) Áp dụng định lý Pitago vào ΔΔ vuông ABOABO với OB=3OB=3, AO=5AO=5 ta có:

AB2=AO2−BO2=52−32=16AB2=AO2−BO2=52−32=16

Gọi AO∩BC=HAO∩BC=H

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔΔ vuông ABOABO ta có:

AB2=AH.AOAB2=AH.AO

⇒AH=AB2AO=165=3,2⇒AH=AB2AO=165=3,2

1BH2=1AB2+1BO21BH2=1AB2+1BO2

⇒1BH2=116+132=25144⇒1BH2=116+132=25144

⇒BH=2,4⇒BH=2,4

⇒BC=2BH=2.2,4=4,8⇒BC=2BH=2.2,4=4,8

⇒PABC=AB+AC+BC=2.AB+BC=2.4+4,8=12,8⇒PABC=AB+AC+BC=2.AB+BC=2.4+4,8=12,8

SABC=12AH.BC=123,2.4,8=7,68SABC=12AH.BC=123,2.4,8=7,68

d) Ta có AC⊥IOAC⊥IO (*) (do ACAC là tiếp tuyến đường tròn (O)(O))

Xét ΔABOΔABO và ΔEODΔEOD có:

ˆABO=ˆEOD=90oABO^=EOD^=90o

BO=ODBO=OD

ˆBOA=ˆODEBOA^=ODE^ (AO∥DCAO∥DC nên có hai góc ở vị trí đồng vị)

⇒ΔABO=ΔEOD⇒ΔABO=ΔEOD

⇒AB=EO⇒AB=EO (hai cạnh tương ứng)

Và AB∥EOAB∥EO (vì cùng ⊥BD⊥BD)

⇒ABOE⇒ABOE là hình bình hành có ˆAOB=90oAOB^=90o

⇒ABOE⇒ABOE là hình chữ nhật

⇒ˆAEO=90o⇒AEO^=90o

OE⊥AIOE⊥AI (**)

Từ (*) và (**) ⇒ΔAOI⇒ΔAOI có 2 đường cao ACAC và OEOE cắt nhau tại G⇒GG⇒G là trực tâm ΔAOIΔAOI

⇒IG⊥AO⇒IG⊥AO

Ta có: ˆIOA=ˆBOAIOA^=BOA^ (do OAOA là phân giác góc BOCBOC) (1)

ˆBOA=ˆODEBOA^=ODE^ (2)

AO∥EDAO∥ED và OD∥AEOD∥AE (do có 2 góc ˆDOE=ˆAEO=90oDOE^=AEO^=90o ở vị trí đối đỉnh)

⇒AODE⇒AODE là hình bình hành ⇒ˆODE=ˆOAE⇒ODE^=OAE^ (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ˆIOA=ˆOAE⇒IOA^=OAE^

Gọi IG∩AO=XIG∩AO=X

Xét ΔΔ vuông AIXAIX và ΔΔ vuông OIXOIX có:

ˆIOA=ˆOAEIOA^=OAE^ (cmt)

IXIX chung

⇒Δ⇒Δ vuông AIX=ΔAIX=Δ vuông OIXOIX (cạnh góc vuông-góc nhọn)

⇒IO=OA⇒IO=OA có thêm IG⊥AOIG⊥AO (chứng minh trên) nên IGIG là trung trực của AOAO (đpcm)

a) Do ABAB và ACAC là hai tiếp tuyến của (O)(O)

⇒AB=AC⇒ΔABC⇒AB=AC⇒ΔABC cân đỉnh AA

Và ˆA1=ˆA2⇒AOA1^=A2^⇒AO là đường trung tuyến nên AOAO cũng là đường cao

⇒AO⊥BC⇒AO⊥BC

a) Do ABAB và ACAC là hai tiếp tuyến của (O)(O)

⇒AB=AC⇒ΔABC⇒AB=AC⇒ΔABC cân đỉnh AA

Và ˆA1=ˆA2⇒AOA1^=A2^⇒AO là đường trung tuyến nên AOAO cũng là đường cao

⇒AO⊥BC⇒AO⊥BC

b) ΔBCDΔBCD nội tiếp đường tròn (BD)(BD)

⇒ˆBCD=90o⇒BCD^=90o

⇒CD⊥BC⇒CD⊥BC

Mà theo chứng minh ở câu a AO⊥BCAO⊥BC

⇒CD∥AO⇒CD∥AO (vì cùng ⊥BC⊥BC)

c) Áp dụng định lý Pitago vào ΔΔ vuông ABOABO với OB=3OB=3, AO=5AO=5 ta có:

AB2=AO2−BO2=52−32=16AB2=AO2−BO2=52−32=16

Gọi AO∩BC=HAO∩BC=H

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔΔ vuông ABOABO ta có:

AB2=AH.AOAB2=AH.AO

⇒AH=AB2AO=165=3,2⇒AH=AB2AO=165=3,2

1BH2=1AB2+1BO21BH2=1AB2+1BO2

⇒1BH2=116+132=25144⇒1BH2=116+132=25144

⇒BH=2,4⇒BH=2,4

⇒BC=2BH=2.2,4=4,8⇒BC=2BH=2.2,4=4,8

⇒PABC=AB+AC+BC=2.AB+BC=2.4+4,8=12,8⇒PABC=AB+AC+BC=2.AB+BC=2.4+4,8=12,8

SABC=12AH.BC=123,2.4,8=7,68SABC=12AH.BC=123,2.4,8=7,68

d) Ta có AC⊥IOAC⊥IO (*) (do ACAC là tiếp tuyến đường tròn (O)(O))

Xét ΔABOΔABO và ΔEODΔEOD có:

ˆABO=ˆEOD=90oABO^=EOD^=90o

BO=ODBO=OD

ˆBOA=ˆODEBOA^=ODE^ (AO∥DCAO∥DC nên có hai góc ở vị trí đồng vị)

⇒ΔABO=ΔEOD⇒ΔABO=ΔEOD

⇒AB=EO⇒AB=EO (hai cạnh tương ứng)

Và AB∥EOAB∥EO (vì cùng ⊥BD⊥BD)

⇒ABOE⇒ABOE là hình bình hành có ˆAOB=90oAOB^=90o

⇒ABOE⇒ABOE là hình chữ nhật

⇒ˆAEO=90o⇒AEO^=90o

OE⊥AIOE⊥AI (**)

Từ (*) và (**) ⇒ΔAOI⇒ΔAOI có 2 đường cao ACAC và OEOE cắt nhau tại G⇒GG⇒G là trực tâm ΔAOIΔAOI

⇒IG⊥AO⇒IG⊥AO

Ta có: ˆIOA=ˆBOAIOA^=BOA^ (do OAOA là phân giác góc BOCBOC) (1)

ˆBOA=ˆODEBOA^=ODE^ (2)

AO∥EDAO∥ED và OD∥AEOD∥AE (do có 2 góc ˆDOE=ˆAEO=90oDOE^=AEO^=90o ở vị trí đối đỉnh)

⇒AODE⇒AODE là hình bình hành ⇒ˆODE=ˆOAE⇒ODE^=OAE^ (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ˆIOA=ˆOAE⇒IOA^=OAE^

Gọi IG∩AO=XIG∩AO=X

Xét ΔΔ vuông AIXAIX và ΔΔ vuông OIXOIX có:

ˆIOA=ˆOAEIOA^=OAE^ (cmt)

IXIX chung

⇒Δ⇒Δ vuông AIX=ΔAIX=Δ vuông OIXOIX (cạnh góc vuông-góc nhọn)

⇒IO=OA⇒IO=OA có thêm IG⊥AOIG⊥AO (chứng minh trên) nên IGIG là trung trực của AOAO (đpcm)