* Xét mặt cầu (S) tâm J, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh: AB, BC, AC lần lượt tại M, N và P.

Gọi I là hình chiếu vuông góc của J lên mp (ABC) ⇒ IJ ⊥ (ABC)

* Ta có: {JM⊥ABJI⊥AB⇒IM⊥AB{JM⊥ABJI⊥AB⇒IM⊥AB (định lí 3 đường vuông góc)

Chứng minh tương tự có:IN⊥BC,IP⊥ACIN⊥BC,IP⊥AC (1)

* Xét ba tam giác JIM; JIN và JIP có:

ˆJIM=ˆJIN=ˆJIP=900JIM^=JIN^=JIP^=900

JIJI chung

JN=JM=JP=RJN=JM=JP=R

⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (ch- cgv)

⇒ IN = IM = IP (2)

Từ (1) và (2) suy ra, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* Lấy điểm J thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh AB, BC và CA lần lượt taị M, N và P.

Ta có: IM⊥AB,IN⊥BC,IP⊥ACIM⊥AB,IN⊥BC,IP⊥AC (1)

Mặt khác; IM = IN = IP = r.

⇒ ∆ JIM = ∆ JIN = ∆JIP (c-g-c)

⇒ JM = JN = JP (2)

Từ (1) và (2) suy ra, mặt cầu (S) tâm J tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.

Vậy tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.