a) Ta có: AF=AD/2(F là trung điểm của AD)

BE=BC/2(E là trung điểm của BC)

mà AD=BC(Hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)

nên AF=BE

Xét tứ giác AFEB có 

AF//BE(AD//BC, F∈AD, E∈BC)

AF=BE(cmt)

Do đó: AFEB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Ta có: AD=2⋅ABAD=2⋅AB(gt)

mà AD=2⋅AF(F là trung điểm của AD)

nên AB=AF

Hình bình hành AFEB có AB=AF(cmt)

nên AFEB là hình thoi(Dấu hiệu nhận biết hình thoi)

⇒Hai đường chéo AE và BF vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình thoi)

hay AE⊥BF(đpcm)

b) Ta có: AFEB là hình thoi(cmt)

nên AF=FE=EB=AB và ˆA=ˆFEBA^=FEB^(Số đo của các cạnh và các góc trong hình thoi AFEB)

hay ˆFEB=60

Xét ΔFEB có FE=EB(cmt)

nen ΔFEB cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔFEB cân tại E có ˆFEB=60(cmt)

nên ΔFEB đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

⇒ˆBFE=60(Số đo của một góc trong ΔFEB đều)

Ta có: AB//FE(hai cạnh đối trong hình thoi ABEF)

nên ˆA=ˆDFE(hai góc đồng vị)

hay ˆDFE=60

Ta có: tia FE nằm giữa hai tia FB,FD

nên ˆDFB=ˆDFE+ˆBFE

⇔ˆDFB=60+60=120(1)

Ta có: AD//BC(hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)

nên A^+D^=180(hai góc trong cùng phía bù nhau)

hay ˆD=180−60=120(2)

Từ (1) và (2) suy ra ˆDFB=ˆDDF 

Xét tứ giác BFDC có 

FD//BC(AD//BC, F∈AD)

nên BFDC là hình thang có hai đáy là FD và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang BFDC có ˆDFB=ˆD^(cmt)

nên BFDC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)