a)

Xét tam giác ABDABD và ACEACE có:

{ˆA−chungˆADB=ˆAEC=900⇒△ABD∼△ACE(g.g){A^−chungADB^=AEC^=900⇒△ABD∼△ACE(g.g)

b)

Xét tam giác HBEHBE và HCDHCD có:

ˆBHE=ˆCHDBHE^=CHD^ (2 góc đối đỉnh)

ˆHEB=ˆHDC=900HEB^=HDC^=900

⇒△HBE∼△HCD(g.g)⇒△HBE∼△HCD(g.g)

⇒HBHE=HCHD⇒HB.HD=HC.HE⇒HBHE=HCHD⇒HB.HD=HC.HE

c)

Vì HH là giao điểm của 2 đường cao CE,BDCE,BD nên HH là trực tâm của tam giác ABCABC

⇒AH⊥BC⇒AH⊥BC⇒AF⊥BC⇒ˆAFC=900⇒AF⊥BC⇒AFC^=900

Xét tam giác AFCAFC và FICFIC có:

{ˆC−chungˆAFC=ˆFIC=900⇒△AFC∼△FIC(g.g){C^−chungAFC^=FIC^=900⇒△AFC∼△FIC(g.g)

⇒AFFC=FIIC⇒AFFC=FIIC (đpcm)

d) Gọi giao điểm của NINI và FMFM là KK.

Từ kết quả phần c AFFC=FIIC⇔FN2FC=FI2CM⇔FNFC=FICMAFFC=FIIC⇔FN2FC=FI2CM⇔FNFC=FICM

⇔FIFN=CMFC⇔FIFN=CMFC

Xét tam giác FINFIN và CMFCMF có:

ˆIFN=ˆMCF(=900−ˆIFC)IFN^=MCF^(=900−IFC^)

FNCF=FICMFNCF=FICM (cmt)

⇒△FIN∼△CMF(c.g.c)⇒ˆFNK=ˆFNI=ˆCFM⇒△FIN∼△CMF(c.g.c)⇒FNK^=FNI^=CFM^

Mà ˆCFM=900−ˆNFKCFM^=900−NFK^

⇒ˆFNK=900−ˆNFK⇒FNK^=900−NFK^

⇒ˆFNK+ˆNFK=900⇒FNK^+NFK^=900

⇒ˆFKN=900⇒NI⊥MF⇒FKN^=900⇒NI⊥MF (đpcm)