1) a) Kẻ đường OE vuông góc với CD tại E. 
Vì nên tam giác OMN là tam giác cân 
Suy ra đường cao cũng là đường trung tuyến => E là trung điểm MN => NE=ME (1) 
Vì OE vuông góc DC => DE=CE (2) 
Từ (1) và (2) => CM=DN 
b) Gọi OM=d 
Trong tam giác vuông MON có MN = d.căn2 = DC/3 => DC = 3.d.căn2 (*) 
Trong tam giác ODE có DE.DE + OE.OE = R.R 
<=> DC/2.DC/2 + OE.OE = R.R (**) 
Trong tam giác vuông OEM có OE.OE = d.d - DC/6.DC/6 (***) 
Thay (*) và (***) vào (**) ta có : 9.d.d/2 + d.d - 9.d.d/18 = R.R 
Giải phương trình này ta được d = R/căn5 
(Ghi chú : "căn" là căn bậc hai)