Ta có: ΔABC vuông cân tại A.
=> A1ˆ=A2ˆ=90(1)
Cũng có: BH ⊥ AE.
=> ΔBAH vuông tại H.
=> B1ˆ+A2ˆ=90o (2)
Từ (1) và (2) => A1ˆ=B1ˆ
Xét ΔBAH và ΔACK có:
AB = AC (ΔABC cân)
H1ˆ=K1ˆ=90o (CK ⊥ AE, BH ⊥ AE)
A1ˆ=B1ˆ=(cmt)
=> ΔBAH = ΔACK (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BH = AK (2 cạnh tương ứng)
b) Ta có: BH ⊥ AK; CK ⊥ AE.
=> BH // CK.
=> HBMˆ=MCKˆ  (2 góc so le trong) [1]
Mà MAEˆ+AEMˆ=90o [2]
Và MCKˆ+CEKˆ=90o [3]
AEMˆ=CEKˆ(đối đỉnh) [4]
Từ [1], [2], [3] và [4] => MAEˆ=ECKˆ [5]
Từ [1] và [5] => HBMˆ=MAKˆ.
Ta có: AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BM = MC = 1/2 BC.
Xét ΔMBH và ΔMAK có:
MA = MB (cmt)
HBMˆ=MAK (cmt)
BH = AK (câu a)
=> ΔMBH = ΔMAK (c - g - c)
c) Xét ΔAMH và ΔCMK có:
AH = CK (ΔABH = ΔCAK)
MH = MK (ΔMBH = ΔMAK)
AM = CM (AM là trung tuyến)
=> ΔAMH = ΔCMK (c - c - c)
=> AMHˆ=CMKˆ (2 góc tương ứng)
mà AMHˆ+HMCˆ=90o
=> CMKˆ+HMCˆ=90o
hay HMKˆ=90o
ΔHMK có MK = MH và MHKˆ=90o
=> ΔHMK vuông cân tại M.