Cách 1: Biến đổi tương đương
(✽) ⇔ (a + b)/ab ≥ 4/(a + b) , do a,b > 0 --> ab > 0 và a + b > 0, quy đồng 2 vế
⇔ (a + b)² ≥ 4ab
⇔ a² + 2ab + b² ≥ 4ab
⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0
⇔ (a - b)² ≥ 0 luôn đúng ∀ a,b > 0
--> đpcm
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Cách 2: Dùng bđt Cô-si
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương 1/a và 1/b ta có
Ta có: 1/a + 1/b ≥ 2/√(ab)
lại có √ab = √a.√b ≤ (a + b)/2, cũng là bđt Cô-si
(hoặc có thể hiểu:
(√a - √b)² ≥ 0 --> a - 2√a.√b + b ≥ 0 --> a + b ≥ 2√a.√b --> √a.√b ≤ (a + b)/2 )
--> 1/a + 1/b ≥ 2/√(ab) ≥ 2/[(a + b)/2] = 4/(a + b) --> đpcm
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Cách 3: Dùng bđt Schwarz (hay còn gọi là Bunhia)
Ta có bđt bunhia như sau: (x² + y²)(m² + n²) ≥ (xm + yn)² (*)
dấu " = " xảy ra ⇔ x/m = y/n
Bđt này chứng minh được 1 cách dễ dàng bằng cách biến đổi tương đương
Áp dụng (*) với x = √a ; y = √b , m = 1/√a , n = 1/√b, ta có
(a + b)(1/a + 1/b) ≥ (√a.1/√a + √b.1/√b)² = (1 + 1)² = 4
--> (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4
--> 1/a + 1/b ≥ 4/(a + b) --> (✽) được CM
Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b