7) Gỉa sử cả 3 số 9ab, 9bc, 9ca đều không nhỏ hơn (a + b + c)^2 
Tức là:
{9ab ≥ (a + b + c)^2
{9bc ≥ (a + b + c)^2
{9ca ≥ (a + b + c)^2
=> 9ab + 9bc + 9ca ≥ 3(a + b + c)^2
<=> 3ab + 3bc + 3ca ≥ (a + b + c)^2
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3ab + 3bc + 3ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca ≤ 0
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca ≤ 0
<=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) ≤ 0
<=> (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ≤ 0 
Ta thấy: (a - b)^2; (b - c)^2; (c - a)^2 > 0 (vì a, b, c đôi một khác nhau) <=> (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 > 0
=> Điều giả sử sai
Vậy trong 3 số 9ab, 9bc, 9ca có 1 số nhỏ hơn (a + b + c)^2 

2) 
+) Với n = 2 thì: n^n = 2^2 = 4; (n + 1)^(n - 1) = (2 + 1)^(2 - 1) = 3
=> n^n > (n + 1)^(n - 1) (vì 4 > 3)
+) Gỉa sử bất đẳng thức đúng với n = k (k ∈ N; k ≥ 2)
Tức là: k^k > (k + 1)^(k - 1)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh: (k + 1)^(k + 1)> (k + 2)^k
Thật vậy:
1 > 0 
<=> k^2 + 2k + 1 > k^2 + 2k
<=> (k + 1)^2 > k^2 + 2k
<=> (k + 1)^(2k) > k^k.(k + 2)^k
<=> (k + 1)^(k + 1).(k + 1)^(k - 1) > k^k.(k + 2)^k
<=> ((k + 1)^(k + 1))/((k + 2)^k)) > k^k/((k + 1)^(k - 1))
Mà k^k > (k + 1)^(k - 1) (giả thiết quy nạp) => k^k/((k + 1)^(k - 1)) > 1
=> ((k + 1)^(k + 1))/((k + 2)^k)) > 1
<=> (k + 1)^(k + 1) > (k + 2)^k
=> Bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Vậy: ...........