1.
BD và CE là các đường cao của ΔABC nên góc BEC = góc BDC = 90 độ
Xét tứ giác CEDC có BEC = BDC và 2 góc này cùng chắn cung BC 
=> BEDC là tức giác nội tiếp
2.
Vì BEDC nội tiếp nên góc ACB + BED = 180 độ
mà góc DEA + BED = 180 độ ( 2 góc kề bù)
=> góc DEA = ACB
3.
C nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC tâm O nên góc ACB = 1/2 số đo cung AB
Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn tâm O và AB là dây cung ( tính chất tiếp tuyến và dây cung)
nên góc BAx = 1/2 số đo cung AB
=> góc ACB = BAx = 1/2 số đo cung AB
trong khi góc ACB = DEA 
nên góc DEA = BAx = ACB
=> DE // Ax ( 2 góc so le trong)
4.
OA ┻ Ax ( OA là bán kình đường tròn O và Ax là tiếp tuyến)
MN // Ax nên MN ┻ OA
XétΔ MON có OA là đường cao ( cmt)
ΔMON cân do OM = ON ( bán kính đường tròn O)
=> OA đồng thời cũng là trung tuyến và đi qua trung điểm của MN
Xét ΔMAN có AO là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến
=> ΔMAN cân tại A và AN = AM
nên cung AN = cung AM do dây cung bằng nhau
Góc AMN chắn cung AN, góc ABM chắn cung AM
nên góc ABM = góc AME 
Xét ΔAME và ΔEBM có: chung góc MAB
góc ABM = AME ( cmt)
=> ΔAME ᔕ Δ ABM (g.g)
=> AE/AM = AM/AB => AM^2 = AE.AB ( đpcm)