Cho góc nhọn \(\widehat {xOy}\), trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Đường trung trực của OA và đường trung trực của OB cắt nhau tại I. Cho các khẳng định sau: (I) OI là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\); (II) OI là đường trung trực của đoạn AB. Chọn khẳng định đúng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì HI là trung trực của OA nên IH ⊥ OA, OH = HA = \(\frac{1}{2}\)OA;

Vì KI là trung trực của OB nên IK ⊥ OB, OK = KB = \(\frac{1}{2}\)OB.

Mà OA = OB (giả thiết) nên OH = OK.

Xét DOIH và DOIK có

\(\widehat {OHI} = \widehat {OKI}( = 90^\circ )\),

OI là cạnh chung,

OH = OK (chứng minh trên)

Do đó DOIH = DOIK (cạnh huyển – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {HOI} = \widehat {KOI}\) (hai góc tương ứng).

Do đó OI là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\), nên (I) đúng.

Xét DOAB có IH là trung trực của OA, IK là trung trực của OB, IH cắt IK tại H nên I là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác OAB.

Do đó OI là trung trực của AB, nên (II) đúng.

Vậy ta chọn phương án C.