Cho tam giác ABC có \(\widehat A = \alpha \) là góc tù. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I. Tính số đo của góc BIC theo α ta được:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét DABC có I là giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác.

Do đó IA = IB = IC.

• Tam giác IAB có IA = IB nên cân tại I

Suy ra \[\widehat {IAB} = \widehat {IBA}\] (tính chất tam giác cân).

• Tam giác IAC có IA = IC nên cân tại I

Suy ra \[\widehat {IAC} = \widehat {ICA}\] (tính chất tam giác cân).

Xét DABI có \[\widehat {IAB} + \widehat {IBA} + \widehat {AIB} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)

Mà \[\widehat {IAB} = \widehat {IBA}\](chứng minh trên)

Suy ra \[\widehat {AIB} = 180^\circ - 2.\widehat {IAB}\]

Xét DACI có \[\widehat {IAC} + \widehat {ICA} + \widehat {AIC} = 180^\circ \] (tổng ba góc trong một tam giác)

Mà \[\widehat {IAC} = \widehat {ICA}\] (chứng minh trên)

Suy ra \[\widehat {AIC} = 180^\circ - 2.\widehat {IAC}\]

Ta có \(\widehat {BIC} = \widehat {AIB} + \widehat {AIC} = 180^\circ - 2.\widehat {IAB} + 180^\circ - 2.\widehat {IAC}\)

Hay \(\widehat {BIC} = 360^\circ - 2.(\widehat {IAB} + .\widehat {IAC}) = 360^\circ - 2.\widehat {BAC} = 360^\circ - 2\alpha \).

Vậy ta chọn phương án C.