Cho ∆ABC có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến và trọng tâm G. Cho các phát biểu sau: (I) \[AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right)\]; (II) AD + BE + CF < AB + BC + AC. Chọn khẳng định đúng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Ta xét (I):

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có \(GB = \frac{2}{3}BE\) và \(GC = \frac{2}{3}CF\).

∆GBC có GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác).

Suy ra \(\frac{2}{3}BE + \frac{2}{3}CF > BC\).

Hay \(\frac{2}{3}\left( {BE + CF} \right) > BC\).

Do đó \(BE + CF > \frac{3}{2}BC\) (1).

Chứng minh tương tự ta được:

+) \(AD + BE > \frac{3}{2}AB\) (2).

+) \(AD + CF > \frac{3}{2}AC\) (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được:

\(2AD + 2BE + 2CF > \frac{3}{2}AB + \frac{3}{2}BC + \frac{3}{2}AC\).

Suy ra \(2\left( {AD + BE + CF} \right) > \frac{3}{2}\left( {AB + BC + AC} \right)\).

Do đó \(AD + BE + CF > \frac{3}{4}\left( {AB + BC + AC} \right)\).

Vậy (I) đúng.

• Ta xét (II):

Trên tia AD, lấy điểm A’ sao cho DA’ = DA.

Xét ∆ADB và ∆A’DC, có:

DA = DA’,

\(\widehat {ADB} = \widehat {A'DC}\) (hai góc đối đỉnh),

BD = CD (do AD là đường trung tuyến của ∆ABC),

Do đó ∆ADB = ∆A’DC (c.g.c).

Suy ra AB = A’C (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆AA’C, ta được:

AA’ < AC + A’C.

Suy ra AA’ < AC + AB hay 2AD < AC + AB (4).

Chứng minh tương tự, ta được:

+) 2BE < AB + BC (5).

+) 2CF < AC + BC (6).

Lấy (4) + (5) + (6) vế theo vế, ta được:

2AD + 2BE + 2CF < 2AC + 2AB + 2BC.

Suy ra 2(AD + BE + CF) < 2(AB + AC + BC).

Do đó AD + BE + CF < AB + AC + BC.

Vậy (II) đúng.

Kết luận: cả (I) và (II) đều đúng.

Ta chọn phương án C.