Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \[x = 0\] và \[x = 2\sqrt 3 ,\] biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x\left( {0 \le x \le 2\sqrt 3 } \right)\] thì thiết diện là một hình tam giác đều có cạnh là \[x\sqrt 2 .\]

Đáp án A

Diện tích thiết diện là diện tích tam giác đều có cạnh \(x\sqrt 2 \).

Ta có: \(S\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x\sqrt 2 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_0^{2\sqrt 3 } {S\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int\limits_0^{2\sqrt 3 } {\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}dx} = \left. {\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{2\sqrt 3 } = 12\).