Một người thợ thủ công cần làm một cái thùng hình hộp đứng không nắp đáy là hình vuông có thể tích \[100{\mkern 1mu} c{m^3}\]. Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người đó cần thiết kế sao cho tổng S của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất.

Đáp án A

Gọi cạnh đáy, cạnh bên của hình hộp đứng lần lượt là x và y (\(x,y > 0\))

Ta có: \(V = 100 \Rightarrow {x^2}y = 100 \Rightarrow y = \frac{{{x^2}}}\). Khi đó: \(S = 4{\rm{x}}y + {x^2} = 4{\rm{x}}{\rm{.}}\frac{{{x^2}}} + {x^2} = \frac{x} + {x^2}\)

\( = \frac{x} + \frac{x} + {x^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{x}.\frac{x}.{x^2}}} = 3\sqrt[3]{{{{4.10}^3}}} = 30\sqrt[3]\).

Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(30\sqrt[3]\) khi \(\frac{x} = {x^2} \Leftrightarrow {x^3} = 200 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]\).