Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\]. Gọi \[M,{\rm{ }}m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn \[\left[ { - 3;{\mkern 1mu} 3} \right]\] sao cho \[M \le 2m\]?

Đáp án D

Xét hàm số \[g\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a\], với \[x \in \left[ { - 3;3} \right]\] ta có \[g'\left( x \right) = 4{x^3} - 12{x^2} + 8x;\;\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - 3;3} \right)\\g'\left( x \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\].

Xét bảng sau:

+ TH1: \[0 \le a \le 3 \Rightarrow M = a + 1;m = a \Rightarrow M \le 2m \Leftrightarrow a \ge 1 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3} \right\}\].

+ TH2: \[ - 3 \le a \le - 1 \Rightarrow M = \left| a \right| = - a;\;m = \left| {a + 1} \right| = - a - 1\].

\[ \Rightarrow M \le 2m \Leftrightarrow a \le - 2 \Rightarrow a \in \left\{ { - 3; - 2} \right\}\].