Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y=x2+8ln2x−mx đồng biến trên 0;+∞?

Phương pháp giải: - Để hàm số đồng biến trên 0;+∞ thì y'≥0∀x∈0;+∞.

- Cô lập m đưa bất phương trình về dạng m≤gx∀x∈0;+∞⇔m≤min0;+∞gx.

- Sử dụng BĐT Cô-si tìm min0;+∞gx.

Giải chi tiết: TXĐ: D=0;+∞

Ta có: y'=2x+8.22x−m=2x+8x−m.

Để hàm số đồng biến trên 0;+∞ thì y'≥0∀x∈0;+∞.

⇔2x+8x−m≥0∀x∈0;+∞

⇔m≤2x+8x∀x∈0;+∞*

Đặt gx=2x+8x

*⇔m≤min0;+∞gx

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 2x+8x≥22x.8x=2.4=8

⇒min0;+∞gx=8, dấu “=” xảy ra ⇒min0;+∞gx=8.

Từ đó ta suy ra được m≤8, kết hợp điều kiện m∈ℤ+⇒m∈1;2;3;4;5;6;7;8.