Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol y=−12x2+2x , cung tròn có phương trình y=16−x2 với 0≤x≤4 , trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình D bằng

Diện tích hình phẳng D là

S=∫0416−x2−−12x2+2xdx=∫0416−x2dx−∫04−12x2+2xdx.

Xét I=∫0416−x2dx . Đặtx=4sint⇒dx=4costdt . Đổi cận:x=0⇒t=0x=4⇒t=π2

I=∫0π216−16sin2t.4costdt=16∫0π2cos2tdt=8∫0π21+cos2tdt=8t+12sin2t0π2=8π2=4π.

XétJ=∫04−12x2+2xdx=−x36+x204=163 . Vậy S=4π−163 .