Cho hàm số y=fx thỏa mãn f0=23 và x+x+1f'x=1,∀x≥−1. Biết rằng ∫01fxdx=a2+b15 với a,b∈ℤ. Tính T=a+b.

Phương pháp giải: - Rút f'x từ giả thiết đề bài cho.

- Tìm fx=∫f'xdx, sử dụng công thức tính nguyên hàm: ∫xdx=23xx+C.

- Từ giả thiết f0=23 tìm hằng số C và suy ra hàm số fx.

- Tính ∫01fxdx với hàm fx vừa tìm được, đưa kết quả về dạng a2+b15. Đồng nhất hệ số tìm a,b và tính tổng T=a+b.

Giải chi tiết: Ta có:

x+x+1f'x=1∀x≥−1

⇔f'x=1x+x+1∀x≥−1

⇔f'x=x+1−x∀x≥−1

⇒fx=∫x+1−xdx=23x+1x+1−xx+C

Mà f0=23 ⇒231−0+C=23⇒C=0

⇒fx=23x+1x+1−xx

Khi đó ta có: ∫01fxdx=23∫01x+1x+1−xxdx

=23.25x+12x+1−x2x01

=41542−1−1−0

=162−815

⇒a=16b=−8