Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A1;0;1,B2;1;2, D2;−2;2, A'3;0;−1, điểm M thuộc cạnh DC . GTNN của tổng các khoảng cách AM+MC là:

Phương pháp giải: Đánh giá theo bất đẳng thức: a2+b2+c2+d2≥(a+c)2+(b+d)2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ac=bd.

Giải chi tiết:

AB=3,AD=6,AA'=22

Gọi độ dài đoạn DM=x,0≤x≤3. Khi đó, tổng các khoảng cách:

AM+MC'=6+x2+8+3−x2≥6+82+x+3−x2=6+83+8+3=17+83

⇒AM+MC'min=17+83 khi và chỉ khi:

68=x3−x=32⇒2x=3−3x⇔x=32+3=6−33.