Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 0), B (2; 2; 2), C (–2; 3; 1) và đường thẳng (d): x−12 = y+2−1 = z−32 . Tìm điểm M thuộc (d) để thể tích V của tứ diện M.ABC bằng 3.

Đáp án đúng là A

Ta có: AB→2;1;2  và AC→−2;2;1

VTPT của mặt phẳng (ABC) là: n→  = AC→;AB→  = (3; 6; – 6) = (1; 2; - 2)

Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A (0; 1; 0) nhận n→  = (1; 2; –2) làm vectơ pháp tuyến có dạng: 1.(x – 0) + 2.(y – 1) – 2(z – 0) = 0

⇔ x + 2y – 2z – 2 = 0.

Ta có: S_ABC = 12AC→;AB→=12.32+62+−62=92 , d (M, (ABC)) = 3VM.ABCSABC  = 3.392  = 2

M ∈ d nên điểm M có tọa độ là M (1 + 2t; –2 – t; 3 + 2t) (1)

d (M, (ABC)) = 2 = 1+2t+2−2−t−23+2t−21+22+(−2)2

Lần lượt thay t vào (1) ta tìm được tọa độ điểm M là:

 M −152;94;−112 ; M −32;−34;12