Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S):(x−1)2+y−22+(z−3)2=25 cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi 8π . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng

Đáp án A

Phương trình mặt phẳng (ABC) là xa+yb+zc=1.

Vì mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5) nên ta có 2a+4b+5c=1  và có vectơ pháp tuyến n→=1a;1b;1c .

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

Ta có IM→=(1;2;2)  nên IM = 3 (1)

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó giao tuyến của (ABC) với mặt cầu (S) là đường tròn tâm H có chu vi bằng 8π  suy ra bán kính r = 4.

Ta có IH=R2−r2=52−42=3(2)

Vì IH⊥(ABC)  và M∈(ABC)  nên IM≥IH  (3)

Từ (1), (2) ta có IM = IH = 3. Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay M≡H.

Khi đó IM⊥(ABC)  nên IM→  là vectơ pháp tuyến của (ABC).

Suy ra n→=kIM→(k≠0)⇔1a=k.1b=2k1c=2k .

Vì 2a+4b+5c=1  nên 2k+8k+10k=1⇔k=120.

Từ đó suy ra a = 20, b = 10, c = 10.

Vậy a + b + c = 40.