Cho các hàm số fx,gx liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn m.fx+n.f1−x=gx với m, n là các số thực khác 0 và . Giá trị của ∫01fxdx=∫01gxdx=1 là:

Đáp án C

Từ giả thiết m.fx+n.f1−x=gx, lấy tích phân hai vế ta được:

∫01m.fx+n.f1−xdx=∫01gxdx⇒∫01m.fxdx+∫01n.f1−xdx=∫01gxdx.

Suy ra m+n∫01f1−xdx=1 (do ∫01fxdx=∫01gxdx=1) (1)

Xét tích phân ∫01f1−xdx.

Đặt t=1−x, suy ra dt=−dx.

Đổi cận x=0⇒t=1x=1⇒t=0.

Khi đó ∫01f1−xdx=−∫10ftdt=∫01ftdt=∫01fxdx=1   2.      

Từ (1) và (2), suy ra m+n=1.