Trong không gian Oxyz, cho điểm E2;1;3 , mặt phẳng P:2x+2y−z−3=0 và mặt cầu S:x−32+y−22+z−52=36 . Gọi Δ là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng P và cắt S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của Δ là

Đáp án C

S:x−32+y−22+z−52=36, có tâm I3;2;5 và R=6

Ta có: EI→=1;1;2⇒EI→=12+12+22=6<6=R  .

Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S) .

Vì E∈P  và E∈ΔΔ⊂P  nên giao điểm của Δ  và (S)  nằm trên đường tròn giao tuyến (C)  tâm K của mặt phẳng (P)  và mặt cầu (S) , trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P) . Gọi Δ∩S=A;B . Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi dK,Δ  lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên Δ  khi đó dK;Δ=KF≤KE . Dấu "="  xảy ra khi và chỉ khi F≡E .

Vì IK⊥PKE⊥Δ⇒IK⊥ΔKE⊥Δ⇒IE⊥Δ .

Mặt khác:n→P,EI→=5;−5;0 , cùng phương với u→=1;−1;0 .

Vì Δ⊂PΔ⊥IE  nên Δ  có một vectơ chỉ phương là u→=1;−1;0 . Vậy Δ:x=2+ty=1−tz=3  .