Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và xác định trên ℝ, sao cho f(0)≠0 và phương trình 5x−5−x=f(x) có đúng 5 nghiệm phân biệt. Khi đó số nghiệm của phương trình 5x+5−x=f2x2+2 là

Ta có 5x+5−x=f2x2+2⇔f2x2=5x+5−x−2=5x2−5−x2

⇔fx2=5x2−5−x2fx2=5−x2−5x2⇔ft=5t−5−tft=5−t−5t (với t=x2).

Do f(x) là hàm số chẵn và xác định trên ℝ nên fx=f−x,∀x∈ℝ

Khi đó từ phương trình 5x−5−x=fx, thay x bởi -x ta được f−x=fx=5−x−5x.

Vì phương trình 5x−5−x=fx có đúng 5 nghiệm phân biệt nên phương trình fx=5−x−5x cũng có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Suy ra phương trình ft=5t−5−t có 5 nghiệm phân biệt t1,t2,...t5 và phương trình ft=5−t−5t cũng có 5 nghiệm phân biệt t6,t7,...,t10 *.

Giả sử phương trình 5x−5−x=fx và 5−x−5x=fx có nghiệm chung x=x0

Khi đó fx0=5x0−5−x0 1fx0=5−x0−5x0 2.

Lấy (1) - (2) ta được 25x0−5−x0=0⇔5x0=5−x0⇔x0=0

Lấy (1) + (2) ta được 2fx0=0⇔fx0=0.

Suy ra x0=0 là nghiệm của phương trình f(x) = 0 hay f(0) = 0 (mâu thuẫn với giả thiết).

Suy ra hai phương trình ft=5t−5−t và ft=5−t−5t không có nghiệm chung (**).

Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình 5x+5−x=f2x2+2 có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt.

Chọn C.