Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết rằng \(e >n.\) Số điểm cực trị của hàm số \(y = f'\left( {f\left( x \right) - 2x} \right)\) là

Ta có: y'=(f'(x)−2)f"[f(x)−2x]

y'=0⇔(f'(x)−2)f"[f(x)−2x]=0⇔[f'(x)−2=0           (1)f"[f(x)−2x]=0 (2)

Xét phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2.\)

Từ đồ thị ta có phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},0,{x_2}\left( {{x_1} < m < 0 < n < {x_2}} \right).\)

Xét phương trình \(\left( 2 \right).\)

Trước hết ta có: \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d.\)

\(f'\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow d = 2.\)

Suy ra: \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 2x + e.\)

(2)⇔f"[f(x)−2x]=0⇔[f(x)−2x=mf(x)−2x=n⇔[ax4+bx3+cx2+e=max4+bx3+cx2+e=n

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} = m - e{\rm{ }}\left( {2a} \right)\\a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} = n - e{\rm{ }}\left( {2b} \right)\end{array} \right..\)

Số nghiệm của hai phương trình \(\left( {2a} \right)\) và \(\left( {2b} \right)\) lần lượt bằng số giao điểm của hai đường thẳng \(y = m - e\) và \(y = n - e\) (trong đó \(m - e < n - e < 0)\) với đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2}.\)

\(g'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx.\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx = 0 \Leftrightarrow 4a{x^3} + 3b{x^3} + 2cx + 2 = 2\)

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} < 0\\x = 0\\x = {x_2} >0\end{array} \right.\)

Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) suy ra:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f'\left( x \right) = + \infty \) nên \(a < 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = - \infty .\)

Bảng biến thiên của hàm số \(y = g\left( x \right):\)

Từ bảng biến thiên suy ra hai phương trình \(\left( {2a} \right),\left( {2b} \right)\) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt

(hai phương trình không có nghiệm trùng nhau) và khác \({x_1},0,{x_2}.\)

Suy ra phương trình (f'(x)−2)f"[f(x)−2x]=0 có 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số \(y = f'\left[ {f\left( x \right) - 2x} \right]\) có 7 điểm cực trị.

Đáp án A