Số nghiệm thực của phương trình \[{\log _4}{x^2} = {\log _2}\left( {{x^2} - 2} \right)\] là:

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, đưa phương trình về dạng \[m = f\left( x \right)\] .

- Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đường thẳng \[y = m\] phải cắt đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại 3 điểm phân biệt.

- Lập BBT hàm số \[y = f\left( x \right)\] và tìm m thỏa mãn.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} >0}\\{{x^2} - 2 >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >\sqrt 2 }\\{x < - \sqrt 2 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >\sqrt 2 }\\{x < - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\]

Ta có:

\[{\log _4}{x^2} = {\log _2}\left( {{x^2} - 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.2.{\log _2}\left| x \right| = {\log _2}\left( {{x^2} - 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {\log _2}\left| x \right| = {\log _2}\left( {{x^2} - 2} \right)\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2 = \left| x \right|\]

\[ \Leftrightarrow {\left| x \right|^2} - \left| x \right| - 2 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left| x \right| = 2 \Leftrightarrow x = \pm 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)\]

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.