Tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _{\frac{1}{2}}}x \le {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {2x - 1} \right)\] là:

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của bất phương trình.

- Giải bất phương trình logarit: \[{\log _a}f\left( x \right) \le {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0 < a < 1\].

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >0}\\{2x - 1 >0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x >\frac{1}{2}\].

Ta có:

\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\log _{\frac{1}{2}}}x \le {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( {2x - 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x \le {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {2x - 1} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow x \ge {\left( {2x - 1} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} \ge 4{x^2} - 4x + 1\]\[ \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 \le 0\]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le x \le 1\]

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là \[S = \left( {\frac{1}{2};1} \right]\].