Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\) và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều \(ABCD.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(CD.\)

Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác đều \(BCD.\) Khi đó \(HI = \frac{{2\sqrt 3 }}{3},BH = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\)

Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác đều \(BCD\) nên \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD\)

Và \(HI\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(BCD.\) Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \(r = HI = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)

Tứ diện \[ABCD\] đều nên \(AH \bot \left( {BCD} \right),\) suy ra \(AH\) là chiều cao của khối tứ diện.

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) ta có

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \Leftrightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {4^2} - {\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{3} \Leftrightarrow AH = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}.\)

Vậy chiều cao của hình trụ là \(h = AH = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}.\) Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là \(l = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}.\) Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{xq}} = 2\pi rl = 2\pi .\frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\frac{{4\sqrt 6 }}{3} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\pi .\)

Đáp án D