Tính thể tích \[V\] của khối lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) biết độ dài cạnh đáy của lăng trụ bằng \[2\] đồng thời góc tạo bởi \(A'C\) và đáy \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[30^\circ \].

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là khối trụ tứ giác đều nên đáy là hình vuông và cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình chiếu của \(A'C\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC.\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {A'C;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'C;AC} \right)} = \widehat {A'CA} = {30^0}.\)

Trong tam giác vuông \(A'AC\) có \(AC = AB\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)

\(A'A = AC.\tan {30^0} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\)

\({S_{ABCD}} = A{B^2} = 4\)

Thể tích \(V\) của khối lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(V = \frac{{8\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án D