Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = AC = a\), \(AA' = \sqrt 2 a\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện \(AB'A'C\) là

Khối cầu ngoại tiếp tứ diện \(AB'A'C\) là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(BAC.A'B'C'\)

Gọi \(D,E\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B'C';O\) là trung điểm của \(DE\)

\( \Rightarrow O\) là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(BAC.A'B'C'\) (do đáy là \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A)\)

Ta có: \(OD = \frac{{AA'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AD = \frac{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(R = OA = \sqrt {A{D^2} + O{D^2}} = \sqrt {{a^2}} = a\)

Vậy thể tích khối cầu cần tính là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}.\)

Đáp án A