Cho lăng trụ tam giác đều \[ABC.A'B'C'\] có \[AA' = a\]. Khoảng cách giữa AB' và \[CC'\] bằng \(a\sqrt 3 \) . Thể tích khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]

Ta có

\(BB'//CC' \Rightarrow CC'//\left( {ABB'} \right)\) hay \(CC'//\left( {ABB'A'} \right).\)

Do đó \(d\left( {AB',CC'} \right) = d\left( {CC',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right).\)

Kẻ \(CH \bot AB\) tại \(H.\)

Ta có \(CH \bot AB\) và CH⊥BB' nên \(CH \bot \left( {ABB'A'} \right).\)

Do đó \(d\left( {AB',CC'} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CH = a\sqrt 3 .\)

Trong tam giác \(ABC\) có HB2+HC2=BC2⇔BC24+3a2=BC2⇔BC=2a.

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = AA'.\frac{1}{2}BA.BC.\sin {60^0} = a.\frac{1}{2}.2a.2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^3}\sqrt 3 .\)

Đáp án B