Số nghiệm của phương trình \({\log _{2020}}x + {\log _{2021}}x = 0\) là

Điều kiện: \(x >0\)

Cách 1

Nhận thấy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình

Với \(0 < x \ne 1,\) ta có

\({\log _{2020}}x + {\log _{2021}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _{2020}}x + \frac{1}{{{{\log }_x}2021}} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2020}}x.{\log _x}2021 + 1 = 0 \Leftrightarrow {\log _{2020}}2021 + 1 = 0\) (vô lý)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1.\)

Cách 2

\({\log _{2020}}x + {\log _{2021}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _{2020}}x = - {\log _{2021}}x \Leftrightarrow {\log _{2020}}x = {\log _{2021}}\frac{1}{x} = t\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {2020^t}\\\frac{1}{x} = {2021^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow {2020^t} = \frac{1}{{{{2021}^t}}} \Leftrightarrow {\left( {2020.2021} \right)^t} = 1 \Leftrightarrow t = 0\)

Với \(t = 0 \Rightarrow x = {2020^0} = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1.\)

Đáp án B