Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11.\) Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\) bằng

Với \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}*\) ta có:

Cn0+Cn1+Cn2=11⇔n!0!.(n−0)!+n!1!.(n−1)!+n!2!.(n−2)!=11

⇔n+n(n−1)2=10⇔n2+n−20=0⇔[n=−5n=4→(*)n=4

\(n = 4 \Rightarrow {\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n} = {\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4}\)

\({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k.{{\left( {{x^3}} \right)}^{4 - k}}.\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^k}}} = } \sum\limits_{k = 0}^4 {{{\left( { - 1} \right)}^k}.C_4^k.{x^{12 - 5k}}\left( {0 \le k \le 4,k \in \mathbb{N}} \right)} \)

Số hạng tổng quát \({\left( { - 1} \right)^k}C_4^k.{x^{12 - 5k}}\)

Phải có \({x^{12 - 5k}} = {x^7} \Rightarrow 12 - 5k = 7 \Leftrightarrow k = 1.\)

Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển là: \({\left( { - 1} \right)^1}C_4^1.{x^7} = - 4{x^7}.\)

Đáp án D