Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh bên bằng \(2a,\) góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}.\) Tính thể tích của khối nón có đỉnh là \(S\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right).\) Suy ra \(SH\) là đường cao của hình chóp.

\(AH\) là hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( {ABC} \right).\) Do đó góc giữa cạnh bên \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SAH} = {60^0}.\)

Nên \(h = SH = \sin {60^0},SA = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.2a = a\sqrt 3 \)

Vì \(SA = SB = SC\) nên \(HA = HB = HC = R\)

Suy ra \(H\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ..

Bán kính \(R = \cos {60^0}.SA = 2a.\frac{1}{2} = a.\)

Thể tích khối nón có đỉnh là \(S\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là

\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {a^2}a\sqrt 3 = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

Đáp án A