Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {4x - {x^2}} \right) + \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x - \frac{5}{3}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right].\)

Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {4 - 2x} \right).f'\left( {4x - {x^2}} \right) + {x^2} - 6x + 8 = \left( {2 - x} \right)\left[ {2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + 4 - x} \right].\)

Với \(x \in \left[ {1;3} \right]\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}4 - x >0\\3 \le 4x - {x^2} \le 4\end{array} \right.\) nên \(f'\left( {4x - {x^2}} \right) >0.\)

Suy ra \(2f'\left( {4x - {x^2}} \right) + 4 - x >0,\forall x \in \left[ {1;3} \right].\)

Khi đó \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {1;3} \right].\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) + 5 = 5 + 5 = 10.\)

Đáp án A