Cho các số thực a, b thỏa mãn log22020−2b2−2b2=log2a2+b2+1009+a2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P=a3+a2b+2ab2+2b3+1 thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Đáp án A

ĐKXĐ: 2020−2b2>0⇔b2<1010⇔−1010

+ Theo đề bài ra, ta có:

log22020−2b2−2b2=log2a2+b2+1009+a2

⇔1+log21010−b2−2b2=log2a2+b2+1009+a2

⇔log21010−b2+1010−b2=log2a2+b2+1009+a2+b2+1009  1

Xét hàm số sau: ft=log2t+t  t>0

Ta thấy: f't=1t.ln2+1>0,  suy ra hàm số ft=log2t+t  đồng biến trên 0;+∞

Do đó:

1⇔1010−b2=a2+b2+1009

⇔a2+2b2=1

+ Khi đó: P=a3+a2b+2ab2+2b3+1=a+ba2+2b2+1=a+b+1

Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số a;2b  và 1;12,  ta có:

 ⇒−32≤a+b≤32

Do đó: P=a+b+1≤32+1∈2;3

Suy ra: MinP=32+1∈2;3  khi a=63,b=66.