Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{m^2}{x^3}}}{3} - \left( {{m^2} - 4m} \right){x^2} + x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)

Ta có: \(y' = {m^2}{x^2} - 2\left( {{m^2} - 4m} \right)x + 1\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2}{x^2} - 2\left( {{m^2} - 4m} \right)x + 1 \ge 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). (*) .

• Với \(m = 0\), ta có \(y' = 1 \ge 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) (thỏa mãn bài toán).

• Với \({\rm{m}} \ne 0 \Leftrightarrow {{\rm{m}}^2} > 0:\) được thỏa mãn khi và chỉ khi \(\Delta ' = {\left( {{{\rm{m}}^2} - 4\;{\rm{m}}} \right)^2} - {{\rm{m}}^2} \le 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2}\left[ {{{\left( {m - 4} \right)}^2} - 1} \right] \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m - 4)}^2} \le 1}\\{m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 \le m - 4 \le 1}\\{m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow 3 \le m \le 5.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow m \in \left[ {3\,;\,\,5} \right] \cup \left\{ 0 \right\}\) thì hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn. Chọn C.