Cho hình lăng trụ \({\rm{ABC}}{\rm{.A'B'C'}}\) có đáy tam giác đều cạnh \[a.\] Hình chiếu của \({\rm{C}}\) trên mặt phẳng \(\left( {{\rm{A'B'C'}}} \right)\) là trung điểm của \({\rm{B'C'}}\), góc giữa \({\rm{CC'}}\) và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ .\) Khi đó thể tích khối lăng trụ là

Gọi \(M\) là trung điểm \[{\rm{B'C'}} \Rightarrow CM \bot \,\left( {{\rm{A'B'C'}}} \right)\]

\[ \Rightarrow \left( {{\rm{CC'}},\,\,\left( {{\rm{A'B'C'}}} \right)} \right) = \widehat {{\rm{CC'M}}} = 45^\circ \Rightarrow \Delta {\rm{CC'M}}\] là vuông cân tại \({\rm{M}}\)

\( \Rightarrow CM = {\rm{C'}}M = \frac{{{\rm{B'C'}}}}{2} = \frac{a}{2} \cdot \)

Ta có \(\Delta {\rm{A'B'}}C\) đều nên \({\rm{A'}}M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,{S_{{\rm{A'B'C'}}}} = \frac{1}{2}{\rm{A'}}M \cdot {\rm{B'C'}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {{\rm{V}}_{{\rm{ABC}}}} \cdot {S_{{\rm{A'B'C'}}}} = {\rm{CM}} \cdot {S_{{\rm{A'B'C'}}}} = \frac{{{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{8}.\) Chọn C.