Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình log2mx=log2x+1 vô nghiệm?

Phương pháp giải: - Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Đưa về cùng cơ số 2.

- Giải phương trình logarit: logafx=logagx⇔fx=gx>0.

- Cô lập m, đưa phương trình về dạng m=fx.

- Lập BBT của hàm số fx, từ BBT tìm điều kiện của m để phương trình vô nghiệm.

Giải chi tiết: ĐKXĐ: mx>0x+1>0⇔mx>0x>−1

Ta có:

log2mx=log2x+1

⇔log2mx=2log2x+1

⇔log2mx=log2x+12

⇔mx=x+12*

Do x>−1⇔x+1>0⇔x+12>0⇒mx≠0⇔x≠0

Do đó *⇔m=x+12x=fx với x>−1,x≠0.

Ta có:

f'x=2x+1.x−x+12x2

f'x=2x2+2x−x2−2x−1x2

f'x=x2−1x2=0⇔x=1x=−1

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương (*) vô nghiệm ⇔0≤m<4.

Mà m∈ℤ⇒m∈0;1;2;3.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.