Cho đường thẳng Δ:x−22=y−12=z+3−3 và hai điểm A(1; -1; -1), B(-2;-1;1). Gọi C, D là hai điểm di động trên đường thẳng sao cho tâm mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD luôn nằm trên tia Ox. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Ta thấy M2;1;−3; N4;3;−6∈Δ 

⇒AM→1;2;−2; AN→3;4;−5⇒AM→;AN→=n1→=−2;−1;−2 ⇒ Mặt phẳng (AMN) (hay (ACD)) đi qua điểm A1;−1;−1 và nhận n1→−2;−1;2 làm vectơ pháp tuyến có phương trình: 2x+y+2z+1=0 

Tương tự, ta có phương trình(BCD):x+2y+2z+2=0 

Gọi tâm mặt cầu là Im;0;0  m>0 

Vì mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD nêndI;ACD=dI;BCD⇔2m+13=m+23⇔m=1m=−1  (L) ⇒I1;0;0 và dI;BCD=1 

Gọi C2t+2;2t+1;−3t−3∈Δ 

Ta có AB→−3;0;2; AC→2t+1;2t+2;−3t−2 

⇒AB→;AC→=n2→=−4t−4;−5t−4;−6t−6 

⇒ Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1;-1;-1) và nhận n2→−4t−4;−5t−4;−6t−6 làm vectơ pháp tuyến có phương trình: 4t+4x+5t+4y+6t+6z+7t+6=0 

Vì mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD nêndI;ABC=dI;BCD=1⇒t=−1t=−811⇒CD=31711. Chọn B