Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \[A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right),\,\,B\left( {4\,;\,\, - 7\,;\,\, - 9} \right)\], tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} = 165\) là mặt cầu có tâm \[I\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\] và bán kính \(R.\) Giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2}\) bằng

Gọi \(M\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,z} \right)\). Theo bài ra ta có: \(2M{A^2} + M{B^2} = 165\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 7} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right] = 165\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 12x + 6y + 6z + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 3 = 0\).

Do đó tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm nên \(a = 2\,,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,b = - 1\,,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,c = - 1,\) bán kính \(R = \sqrt {4 + 1 + 1 - 3} = \sqrt 3 \).

Vậy \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9\). Chọn A.